Probabilistic Models Introduction

Introduction:

Probabilistic model is the mathematical structure of any phenomenon whose input or output both are uncertain in nature they depend over some particular criteria or region.

Probabilistic experiments:

1.       Probability  theory  is  a  mathematical  framework  that  allows  us  to  reason  about  phenomena  or  experiments  whose  outcome  is  uncertain.

2.       A probabilistic  model  is a  mathematical  model of a probabilistic experiment that satisfies  certain  math­ematical  properties  (the  axioms  of  probability  theory),  and  which  allows  us  to  calculate  probabilities  and  to  reason  about  the  likely  outcomes  of  the  experi­ment.

3.       A  probabilistic  model  is  defined  formally  by  a  triple  (Ω, F, P),  called  a  probability  space,  comprised  of  the  following  three  elements:

a)      Ω is  the  sample  space,  the  set  of  possible  outcomes  of  the  experiment.

b)      F is an σ-field, a collection of subsets of Ω.

c)       P is  a  probability  measure,  a  function  that  assigns  a  nonnegative  probabil­ity  to  every  set  in  the  σ-field  F.

Our  objective  is  to  describe  the  three  elements  of  a  probability  space,  and explore  some  of  their  properties.

 Sample space:

1.       The  sample  space  is  a  set  Ω comprised  of  all  the  possible  outcomes  of  the  ex­periment. 

2.       Typical  elements  of  Ω are  often  denoted  by  ω,  and  are  called  ele­mentary  outcomes,  or  simply  outcomes. 

3.       The  sample  space  can  be  finite,  e.g.,  Ω = {ω1, . . . , ωn},  countable,  e.g.,  Ω = N,  or  uncountable,  e.g.,  Ω = R or  Ω = {0, 1}∞.

4.       As  a  practical  matter,  the  elements  of  Ω must  be  mutually  exclusive  and  collectively exhaustive, in the  sense that  once the experiment is  carried out,  there  is  exactly  one  element  of  Ω that  occurs.

Examples

a)      If  the  experiment  consists  of  a  single  roll  of  an  ordinary  die,  the  natural  sample  space  is  the  set  Ω = {1, 2, . . . , 6},  consisting  of 6 elements.  The  outcome  ω = 2 indicates  that  the  result  of  the  roll  was  2.

b)      If  the  experiment  consists  of  five  consecutive  rolls  of  an  ordinary  die,  the  natural  sample  space  is  the  set  Ω = {1, 2, . . . , 6}⁵ .  The element ω = (3, 1, 1, 2, 5) is an example of a possible outcome.

c)       If  the  experiment  consists  of  an  infinite  number  of  consecutive  rolls  of  an  ordinary  die,  the  natural  sample  space  is  the  set  Ω = {1, 2, . . . , 6}∞.  In  this  case,  an  elemen­tary  outcome is an infinite  sequence,  e.g.,  ω = (3, 1, 1, 5, . . .).  Such  a  sample  space  would be  appropriate if we  intend to roll a die  indefinitely and we  are  interested in  studying,  say,  the  number  of  rolls  until  a  4 is  obtained  for  the  first  time.

d)      If the experiment  consists of  measuring the velocity of a vehicle with  infinite  preci­sion,  a  natural  sample  space  is  the  set  R of  real  numbers.